Corrigé 7 - Utiliser le modèle du gaz parfait pour analyser un système chimique

Q1. D'après l’équation d’état du gaz parfait appliquée au mélange de gaz présents initialement, on a `P_0\cdotV_\text{gaz}=n_0\cdotR\cdotT`. Il vient donc `n_0 =\frac{P_0\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}`.

Q2. La transformation est supposée totale donc `x_\text{f}=x_\text{max}`. En plus des gaz présents initialement, on a formé une quantité de matière supplémentaire égale à `x_"f"` de dihydrogène à l'état final. Donc la quantité de matière totale en phase gaz à l'état final vaut `n_"f"=n_0+x_"f"`, soit `n_"f"=n_0+x_"max"`. Ainsi, d'après l’équation d’état du gaz parfait appliquée au mélange de gaz présents à l'état final, on a `P_\text{f}\cdotV_\text{gaz}=n_\text{f}\cdotR\cdotT`, soit `n_\text{f} =\frac{P_\text{f}\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}`. Il vient donc `\frac{P_\text{f}\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}=\frac{P_0\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}+x_"max"`, soit `x_"max"=\frac{P_\text{f}\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}-\frac{P_0\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}` . On retrouve bien l'expression demandée :

`x_"max"=\frac{(P_\text{f}-P_0)\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}`.

Q3. D'après l'équation de réaction, on a, à un instant `t`, une quantité de matière en phase gaz qui vaut \(n_\text{gaz}(t)=n_0+n_{\text{H}_2}(t)\), donc \(n_{\text{H}_2}(t)=n_\text{gaz}(t)-n_0\). D'après l’équation d’état du gaz parfait appliquée au mélange de gaz présents, on a `P(t)\cdotV_\text{gaz}=n_\text{gaz}(t)\cdotR\cdotT`, soit `n_\text{gaz}(t) =\frac{P(t)\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}`. Ainsi, on a \(n_{\text{H}_2}(t)=\frac{P(t)\cdot V_\text{gaz}}{R\cdot T} -\frac{P_0\cdot V_\text{gaz}}{R\cdot T}\). On retrouve bien l'expression demandée :

\(n_{\text{H}_2}(t)=\frac{(P(t)-P_0)\cdot V_\text{gaz}}{R\cdot T}\). 

Q4. D'après l'équation de la Q2, on a `x_"max"=\frac{(P_\text{f}-P_0)\cdotV_\text{gaz}}{R\cdotT}` donc `\frac{V_\text{gaz}}{R\cdotT}=\frac{x_"max"}{P_\text{f}-P_0}`. D'après la question 3, on a \(n_{\text{H}_2}(t)=\frac{(P(t)-P_0)\cdot V_\text{gaz}}{R\cdot T}\). Il vient donc \(n_{\text{H}_2}(t)=(P(t)-P_0)\cdot \frac{x_\text{max}}{P_\text{f}-P_0}\). On retrouve bien l'expression demandée : \(n_{\text{H}_2}(t)= x_\text{max}\cdot\frac{P(t)-P_0}{P_\text{f}-P_0}\).

Q5. Pour `t= 60\ "min"`, on relève dans le tableau de mesure \(P(60\ \text{min})= 1\ 513\ \text{hPa}\), avec \(P_0= 1\ 020\ \text{hPa}\) et \(P_\text{f}= 1\ 757\ \text{hPa}\). La quantité de matière de dihydrogène sera égale à :`n_{\text{H}_2}(60\ \text{min})= 7,6\times10^{-3}\text{mol}\times\frac{1\ 513\ \text{hPa}-1\ 020\ \text{hPa}}{1\ 757\ \text{hPa}-1\ 020\ \text{hPa}}=5,1\times10^{-3}\ \text{mol}`.